人工神经网络简介
人工神经网络（简称神经网络）是一种受人脑的生物神经网络启发而设计的计算模型。人工神经网络非常擅长从输入的数据和标签中学习到映射关系，从而完成预测或者解决分类问题。人工神经网络也被称为通用拟合器，这是因为它可以拟合任意的函数或映射。
前馈神经网络是我们最常用的一种网络，它一般包括3层人工神经单元，即输入层、隐含层和输出层，如图3.3所示。其中，隐含层可以包含多层，这就构成了所谓的深度神经网络。
图中的每一个圆圈代表一个人工神经元，连线代表人工突触，它将两个神经元联系了起来。每条连边上都包含一个数值，叫作权重，我们通常用w来表示。
神经网络的运行通常包含前馈的预测过程（或称为决策过程）和反馈的学习过程。
在前馈的预测过程中，信号从输入单元输入，并沿着网络连边传输，每个信号会与连边上的权重进行乘积，从而得到隐含层单元的输入；接下来，隐含层单元对所有连边输入的信号进行汇总（求和），然后经过一定的处理（具体处理过程将在下节讲述）进行输出；这些输出的信号再乘以从隐含层到输出的那组连线上的权重，从而得到输入给输出单元的信号；最后，输出单元再对每一条输入连边的信号进行汇总，并进行加工处理再输出。最后的输出就是整个神经网络的输出。神经网络在训练阶段将会调节每条连边上的权重w数值。
在反馈的学习过程中，每个输出神经元会首先计算出它的预测误差，然后将这个误差沿着网络的所有连边进行反向传播，得到每个隐含层节点的误差。最后，根据每条连边所连通的两个节点的误差计算连边上的权重更新量，从而完成网络的学习与调整。
下面，我们就从人工神经元开始详细讲述神经网络的工作过程。
人工神经元
人工神经网络类似于生物神经网络，由人工神经元（简称神经元）构成。神经元用简单的数学模型来模拟生物神经细胞的信号传递与激活。为了理解人工神经网络的运作原理，我们先来看一个最简单的情形：单神经元模型。如图3.4所示，它只有一个输入层单元、一个隐含层单元和一个输出层单元。
x表示输入的数据，y表示输出的数据，它们都是实数。从输入单元到隐含层的权重w、隐含层单元偏置b、隐含层到输出层的权重w'都是可以任意取值的实数。
我们可以将这个最简单的神经网络看成一个从x映射到y的函数，而w、b和w'是该函数的参数。该函数的方程如图3.5中的方程式所示，其中σ表示sigmoid函数。当w=1，w'=1，b=0的时候，这个函数的图形如图3.5所示。
这就是sigmoid函数的形状及σ(x)的数学表达式。通过观察该曲线，我们不难发现，当x小于0的时候，σ(x)都是小于1/2的，而且x越小，σ(x)越接近于0；当x大于0的时候，σ(x)都是大于1/2的，而且x越大，σ(x)越接近于1。在x=0的点附近存在着一个从0到1的突变。
当我们变换w、b和w'这些参数的时候，函数的图形也会发生相应的改变。例如，我们不妨保持 w'=1， b=0不变，而变换w的大小，其函数图形的变化如图3.6所示。
由此可见，当w>0的时候，它的大小控制着函数的弯曲程度，w越大，它在0点附近的弯曲程度就会越大，因此从x=0的突变也就越剧烈；当w<0的时候，曲线发生了左右翻转，它会从1突变到0。
再来看看参数b对曲线的影响，保持w=w'=1不变，如图3.7所示。
可以清晰地看到，b控制着sigmoid函数曲线的水平位置。b>0，函数图形往左平移；反之往右平移。最后，让我们看看w'如何影响该曲线，如图3.8所示。
不难看出，当w' > 0的时候，w'控制着曲线的高矮；当w' < 0的时候，曲线的方向发生上下颠倒。
可见，通过控制w、w'和b这3个参数，我们可以任意调节从输入x到输出y的函数形状。但是，无论如何调节，这条曲线永远都是S形（包括倒S形）的。要想得到更加复杂的函数图像，我们需要引入更多的神经元。
两个隐含层神经元
下面我们把模型做得更复杂一些，看看两个隐含层神经元会对曲线有什么影响，如图3.9所示。
输入信号进入网络之后就会兵分两路，一路从左侧进入第一个神经元，另一路从右侧进入第二个神经元。这两个神经元分别完成计算，并通过w'1和w'2进行加权求和得到y。所以，输出y实际上就是两个神经元的叠加。这个网络仍然是一个将x映射到y的函数，函数方程为：
在这个公式中，有w1, w2, w'1, w'2, b1, b2这样6个不同的参数。它们的组合也会对曲线的形状有影响。
例如，我们可以取w1=w2=w'1=w'2=1，b1=-1，b2=0，则该函数的曲线形状如图3.10所示。
由此可见，合成的函数图形变为了一个具有两个阶梯的曲线。
让我们再来看一个参数组合，w1=w2=1，b1=0，b2=-1，w'1=1，w'2=-1，则函数图形如图3.11所示。
由此可见，我们合成了一个具有单一波峰的曲线，有点类似于正态分布的钟形曲线。一般地，只要变换参数组合，我们就可以用两个隐含层神经元拟合出任意具有单峰的曲线。
那么，如果有4个或者6个甚至更多的隐含层神经元，不难想象，就可以得到具有双峰、三峰和任意多个峰的曲线，我们可以粗略地认为两个神经元可以用来逼近一个波峰（波谷）。事实上，对于更一般的情形，科学家早已从理论上证明，用有限多的隐含层神经元可以逼近任意的有限区间内的曲线，这叫作通用逼近定理（universal approximation theorem）。
本文节选自《深度学习原理与PyTorch实战》
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